Tạo thói quen khai thác giải thiết bài toán

Từ bài toán giải hệ phương trình trong đề thi Đại Học khối A năm 2010, tác giả bài viết Trần Quốc Luật sinh viên lớp 50A Đại Học Vinh đã “mổ xẻ” đề bài để từ đó khai thác triệt để đặc điểm của từng phương trình trong hệ cho ra những cách giải hay và độc đáo

Trong đề thi Đại Học Khối A 2010 có bài toán “phân loại” như sau:

Bài toán: Giải hệ phương trình: 

Trước hết, ta đặt điều kiện  .

Rõ ràng đây là một hệ phương trình không mẫu mực.

Ta hãy xem xét từng phương trình của hệ.

Nhận thấy phương trình (1) có 2 ẩn “phân ly ” “rời nhau” (có thể “cô lập” mỗi ẩn sang một vế của phương trình) đồng thời chứa  một biểu thức trong dấu căn (hơn nữa bậc của x và   bằng nhau và bằng 3).

          Ta khai thác triệt để những điều này như sau. Trước hết cô lập mỗi ẩn về mỗi vế ta được 

 Đặt ,

ta có 
Đến đây ta đã phát hiện ra hàm đặc trưng  
Rỗ ràng   

nên hàm này đồng biến do đó t = 2x hay 
Với bản chất như vậy, ngoài cách trình bày trên ta còn có thể trình bày bước này như sau:

Cách 1.1 : Đặt , ta có ngay (1) trở thành 

Suy ra 

Cách 1.2: Ta có :

Vấn đề đã được giải quyết một nửa, ta sẽ xử  lý phương trình (2) với điều kiện (3)

Cách 2.1: Thay (3) vào (2) ta có

Cách 2.2: Nhận thấy x = 0 và  đều không phải là nghiệm nên . Thay  vào phương trình thứ 2 ta được 

Trong khoảng  hàm số:

 nghịch biến

Thật vậy, ta có

Mặt khác ta lại có . Vì vậy phương trình g(x) = 7 chỉ có một nghiệm duy nhất 

Cách 2.3: Viết lại (4 ) dưới dạng f(x) = g(x) với  và . Khảo sát riêng lẻ f(x); g(x) thấy trên khoảng  hàm f(x) nghịch biến , g(x) đồng biến nên (4) có nghiệm duy nhất

Cách 2.4: Đặt 

Ta có:

Nếu  thì từ (3) ta có y < 2. Do vậy . Hệ (*) vô nghiệm

Nếu  thì y = 2, thỏa mãn

Nếu  thì từ (3) ta có y > 2. Do vậy . Hệ (*) vô nghiệm

Cách 2.5: Thay  vào (2) ta được :

Đặt a = y – 1 thì ta được 

Đặt 

ta có 

Cách trình bày 1:

+) Nếu a > 1 thì b < 1 nên c > 1, do vậy a < 1, vô lý

+) Nếu  a= 1 thì b = c = 1, thỏa mãn. Thay vào ta có nghiệm của hệ (*) là 

Cách trình bày 2:

Không mất tính tổng quát, giả sử 

Từ có . Tương tự . Do vậy . Đẳng thức xảy ra khi a = b= 1. Từ đó a = b = c= 1.

Cách 2.6:

“Làm chặt” điều kiện được 

Chú ý với điều kiện này thị các hàm  đồng biến , đồng thời

 và  nghịch biến.

Ta đánh giá:

Với  thì từ (1) ta có 

                       từ (2) (mâu thuẫn)

Với  tương tự ta có mâu thuẫn.

Vậy  thay vào thấy thỏa mãn

Cách 2.7: Khử y ta có:

Đặt thì 

Khử x ta có:

Bài tập tương tự áp dụng:

Giải các hệ phương trình sau:

Trích Tạp chí "Toán học và sinh viên" Trường Đại học Vinh 11/2010